DOĞRUSAL DENKLEMLER

EĞİM

Tanım : Dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranı eğim olarak adlandırılır. “m” harfi ile gösterilir.

ÖRNEK: Aşağıdaki yollardan hangisinin eğimi fazladır? Her bir yolun eğimini bulalım. Yüzde olarak gösterelim.

En dik yol 4. yol olduğu için eğimi en fazla olan yol 4. yoldur. Bir yolun eğimini bulmak için hipotenüsü yol olan bir dik üçgende dikey uzunluğu yatay uzunluğa böleriz.

Yolların eğimlerini m₁, m₂, m₃, m₄ olarak gösterelim.

DOĞRUNUN EĞİMİ

Doğru üzerinde bulunan iki nokta arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranına bir doğrunun eğimi denir.

y eksenine göre sağa yatık doğruların eğimi pozitif, sola yatık doğruların eğimi negatiftir. [SPOT 1 ]

ÖRNEK: Aşağıdaki d doğrusunun ve a doğrusunun eğimini bulalım.          

Doğrunun herhangi bir yerinde dik üçgen çizeriz. Bu üçgenin hipotenüsünün doğrunun üzerinde olmasına ve kenarlarının da tam sayı olmasına dikkat ederiz.

a doğrusu y eksenine göre sağa yatık olduğu için eğimi pozitiftir.

m_a = 32

d doğrusu y eksenine göre sola yatık olduğu için eğimi negatiftir.

m_d = −24

EĞİM AÇISI

Tanım : Bir doğrunun x ekseni ile eksenin üzerinde yaptığı açılardan sağda olanına eğim açısı denir.

Eğim açısı 0 derece olan (x eksenine paralel) doğruların eğimi sıfırdır. [SPOT 2]

Eğim açısı dar açı olan (sağa yatık) doğruların eğimi pozitiftir. [SPOT 4 ]

Eğim açısı 90 derece olan (y eksenine paralel) doğruların eğimi hesaplanamaz. [SPOT 3 ]

Eğim açısı geniş açı olan (sola yatık) doğruların eğimi negatiftir. [SPOT 5 ]

ÖRNEK: Aşağıdaki doğruların eğim açıların yeşil renk ile gösterilmiştir. Bu doğrulardan:

d₁ doğrusu x eksenin paralel olduğu için eğimi sıfırdır,

d₂ doğrusu x eksenine dik olduğu için eğimi hesaplanamaz,

d₃ doğrusunun eğim açısı geniş açı olduğu için eğimi negatiftir,

d₄ doğrusunun eğim açısı dar açı olduğu için eğimi pozitiftir.

DOĞRUNUN EĞİMİ İLE DENKLEMİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

Denklemi y=mx+n şeklindeki doğrularda x’in katsayısı doğrunun eğimidir. [SPOT 6 ] Bir doğrunun eğimini grafiğini çizmeden bulabilmek için doğru denkleminde y yalnız bırakılır, x’in katsayısı eğimi verir.

ÖRNEK: Aşağıdaki doğruların eğimlerini bulalım.

1) y=3x+4 doğrusunun eğimi x’in katsayısı olan 3’tür.

2) 4x+2y+3=0 doğrusunun eğimini bulmak için y yalnız bırakılır.

NOT: Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. [SPOT 7 ]

ÖRNEK: y=2x+5 ve ax−2y−4=0 doğruları birbirine paralel ise a kaçtır?

Bu doğrular birbirine paralel ise eğimleri birbirine eşittir.

Birinci doğrunun eğimi 2’dir. İkinci doğrunun eğimi de     ‘dir.

Eğimleri birbirine eşitlersek:

  = 2 → a = 4 bulunur.

NOT: Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı −1’dir. [SPOT 8 ]

ÖRNEK: 2x+3y=5vex−by=4 doğruları birbirine dik ise b kaçtır?

Bu doğrular birbirine dik olduğu için eğimleri çarpımı −1’dir.

Birinci doğrunun eğimi

olur.

İkinci doğrunun eğimi

olur.

Eğimlerinin çarpımını −1’e eşitlersek

olur.

BİR BİLİNMEYENLİ RASYONEL DENKLEMLER

RASYONEL DENKLEMLER

Rasyonel ifade şeklinde bulunan denklemleri çözerken kesirlerde olduğu gibi işlem yapacağız. Bazen payda eşitleyeceğiz, bazen genişletme, sadeleştirme yapacağız, bazen de içler-dışlar çarpımı yapacağız.

İşlemler sonunda bulduğumuz denklemdeki bilinmeyenin değerine denklemin kökü denir.

Denklemin köklerinin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

ÖRNEK:

 denklemini sağlayan x değerini bulalım.

İçler-Dışlar çarpımı yaparız. Daha sonra bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafına toplarız ve cevabı buluruz.

x+14=8x

14=8x−x

14=7x

x=2

ÖRNEK:

denklemini sağlayan x değerini bulalım.

Önce paydaları eşitleyip toplama işlemini yaparız, daha sonra içler-dışlar çarpımı yaparak çözümü yaparız.

ÖRNEK:

denklemini sağlayan x değerlerini bulalım.

Bilinmeyenleri eşitliğin sol tarafına alıp işlem yapalım. Daha sonra içler-dışlar çarpımı yaparak çözüme ulaşalım.

x’in değerini 5 bulduk ancak bulduğumuz değer denklemi sağlamaz çünkü denklemde x yerine 5 yaptığımızda payda 0 oluyor. Bu nedenle x=5 değeri için denklemin çözümü olamaz. O zaman bu denklemin çözüm kümesi boş kümedir.

Denklemin sonucunda bulduğumuz değer paydayı sıfır yapıyorsa o değer denklemin kökü olarak kabul edilmez. [SPOT 9 ]